Yakınsak seriler ve limit hk.

Şimdi şunu anlamadım, bir "sürekli" fonksiyonun a noktasındaki limiti ile a noktasındaki değeri aynı mı ? Demek istediğim lim (x-->a) f(x)=f(a) mı ?

Bunu sorma nedenim yakınsak seriler için. 1+1/2+1/4+1/8... serisinin değerini bulmak için limit kullanıyoruz ve sonuca 2 yazıyoruz. Peki o 2 ne ? Sayının çok çok çok yaklaştığı ama asla o değere ulaşmadığı bir sonuç mu yoksa direk 1+1=2 denklemindeki bildiğimiz 2 mi ?

Peki o 2 ne ? Sayının çok çok çok yaklaştığı ama asla o değere ulaşmadığı bir sonuç

yani bir nevi hayali hedefi buluyorsun ama ulaşmadan...

Şu yazdığın serinin çözümü nasıl yapılıyor çok merak ettim.

1+1/2+1/4....=a

1/2+1/4...=a-1

1/2(1+1/2+1/4)=a-1

1/2(a)=a-1

a=2a-2

a=2

yalnız şimdi fark ettim limit kullanmıyormuşuz. o zaman 1+1/2+1/4..= tam olarak ikiye eşit.

Sağduyuya çok ters değil mi ? asla 2 ye ulaşamaz diye düşünüyoruz ilk başta. sonuçta asla ikiye eşitleyecek bir sayı eklemiyoruz, ikiye eşitleyemeyecek sonsuz sayı ekliyoruz ve ikiye eşit oluyor. Garip.

Asla ikiye eşit olup olmaması pratikte hiçbir işine yaramıyor zaten. Excel'de 20 tanesini alt alta yazıp topladığında direkt 2'ye yuvarlıyor. Hatta 20 tane kullanmana bile gerek yok gerçek hayat problemi çözmek için.

Hocam olay pratiği değil zaten; olay tamamı ile sağduyu ve tatmin hissi ile alakalı. Örneğin gerçek hayatta olsaydı ve bizim için önemli olsaydı 6.7412943061... sayısını direkt 6.74 olarak alırdık ve neredeyse hiçbir sorun olmazdı. Bir matematikçi ise bunu asla matematik yaparken kabul edemezdi, asla matematiğe ait olarak görmezdi. İsterse 6.74 sayımız tam tamına 10^(1000000) basamaktan olsaydı (evrendeki atom sayısı bile 10^82) ve sadece ama sadece son basamağı 1 eksik olsaydı yine aynı sayı diyemezdik, en azından matematikçi olsaydık yoksa pratik kullanım için çoktan sıfırdan sonra 2. basamağında durmuştuk. Bizim 1+1/2... toplamı ise tam tamına 2, ne eksik ne fazla; ancak incelediğimiz zaman asla 2'ye ulaşamayacağını düşünürdük. Tıpkı filozof Zeno ve diğer büyük filozoflar gibi.

Sonsuz işlemleri gerçekten hoş ya. Kafayı cayır cayır yakıyor.