Lineer cebirde iyi olan bir bakabilir mi ?

Merhabalar, Lineer cebirde lineer dönüşümlere geldiğimde aklıma bir soru takıldı. Bir lineer dönüşümün lineer olduğunu anlamak için 2 tane koşul olduğunu tanım olarak veriyorlar ve öylece bırakıyorlar. Ama bu tanım nerden geliyor merak ettim.

Koşullar şunlardı :

1.) T(a+b) = T(a) + T(b)

2.) T(cx) = cT(x)

Bu iki koşul nerden geliyor ve nasıl uydurulmuş ?

Bu iki koşulu, 1. şartı ve 2. şartı ayrı ayrı koordinat sistemi üzerinde düşündüğüm de ha bu şart bu yüzden konulmuş gibi fikir yürütebiliyorum. Ama iki koşulu aynı anda düşününce pek mantıklı gelmiyor. Mesala 2. şartı sağlayıp 1. şartı sağlamayan bir örnek bulamadım. (bulursanız yazınız lütfen) Yani bu iki şartı koordinat sistemi üzerinde anlayabileceğim örnekler verebilir misiniz ? (mesala: "bak bu örnekte 1.şartı sağlanıyor ama 2. şart sağlanmıyor veya bak bu örnekte 2.şart sağlanıyor ama 1. şart sağlanmıyor. Bu yüzden de iki şartıda sağlamalı ki dönüşümümüz lineer olsun", diyebileceğiniz örnekler varsa yazınız lütfen )

Cevaplarınızı bekliyorum arkadaşlar.

Bunun üzerinde biraz kafa yormuştum, 2. koşuldaki c değerinin rasyonel sayı olduğu durumları 1den elde edebiliyoruz ancak irrasyonel olduğu durumlar için herhangi bir çıkarım yapılamıyor diye hatırlıyorum. Klasik düşünce yapımızla birini sağlayan diğerini sağlamayan transformasyon bulmak çok zor. Daha derin matematiksel konulara giriyor.

Rasyonel sayılar alanında olsaydık 1. koşul 2. koşulu gerektirirdi bu arada. Ancak biz her alanda geçerli genel bir tanım yazdığımız için sadece bu örneği düşünerek 2. koşulu atamayız tanımdan.

Mathstackexchange'de şunları buldum:

mathematics stack exchange

Importance of the homogeneity assumption in definition of linear map

https://math.stackexchange.com/questions/1836862/importance-of-the-homogeneity-assumption-in-definition-of-linear-map

mathematics stack exchange

What does the definition of a linear transformation say?

https://math.stackexchange.com/questions/3352877/what-does-the-definition-of-a-linear-transformation-say

Ayrıca yararlı bir yazı:

mathematics stack exchange

Definitions of "linearity" across branches of mathematics or levels of math education

https://math.stackexchange.com/questions/1551192/definitions-of-linearity-across-branches-of-mathematics-or-levels-of-math-educ

Öncelikle elinize sağlık. Yazdıklarınızdan şunu anladım; rasyonel sayılarda, 2. şartı sağlayıp 1. şartı sağlamayan bir örnek bulunmadigini.

Linkteki forumdaysa, sanırım karmaşık sayilarda buna bi ornek verilebilecegini anlatiyordu.

Ama siz ayrica "Rasyonel sayılar alanında olsaydık 1. koşul 2. koşulu gerektirirdi bu arada" demişsiniz. Bunu dedikten sonra kendime "1. Şarti saglayip da 2. Sartı saglamayan bir ornek var midir ?" acaba dedim. Eger yoksa 2. şart gereksiz olur. Fakat siz rasyonel sayilarda da 2.şarttin da olmasi gerektigini soyluyorsunuz, peki buna bir örnek verebilir misiniz ?

Yani demek istedigim rasyonel sayilarda 1. Şart yeterli degil mi ?

Degil ise 2. Şartin gerekliligini gosterecek bir ornek verebilir misiniz ?

Hayır dediğim gibi rasyonel sayılar için 2. Koşulu sağlayıp 1. Kouşulu sağlamayan bir dönüşüm olamaz çünkü 1. Koşulu sağlamak 2. Koşulu da sağlamayı mantıksal olarak gerektiriyor. Benim demek istediğim kapsamlı bir tanım yaparken sadece rasyonel sayıları düşünüp 2. Koşula gerek yok diyemeyişimiz. Tüm alanlarda geçerli olması gerektiği için 2. Koşul var. Genel lineerlik tanımı ne de olsa.

İsterseniz 1. Şart ile 2. Şart ın ilişkisini rasyonel sayılarda gösterebilirim belki daha iyi anlaşılır o şekilde

google docs

Note 3 Sep 2021 -.pdf

https://drive.google.com/file/d/1L3KpjbRNXb21Ql7BECVHg1eMjOSAYyjS/view?usp=sharing

Anlaşılmazsa ve zaman bulabilirsem rastgele gibi görünen bu işlemlere hangi motivasyonla hangi sezgi ile giriştiğimizi açıklayabilirim 😂

Lineer cebir en sevdiğim matematik alanlarından, matematik anlatmayı çok seviyorum ancak henüz lineer cebir anlatımı yapmadım 😄😄

Evet öyle. Birkaç video bırakayım:

Socraticayoutube

Vector spaces are one of the fundamental objects you study in abstract algebra. They are a significant generalization of the 2- and 3-dimensional vectors you study in science. In this lesson we talk about the definition of a vector space and give a few surprising examples. Be sure to subscribe so you don't miss new lessons from Socratica: http://bit.ly/1ixuu9W ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ We recommend the following textbooks: Dummit & Foote, Abstract Algebra 3rd Edition http://amzn.to/2oOBd5S Milne, Algebra Course Notes (available free online) http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/index.html ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ Ways to support our channel: ► Join our Patreon : https://www.patreon.com/socratica ► Make a one-time PayPal donation: https://www.paypal.me/socratica ► We also accept Bitcoin @ 1EttYyGwJmpy9bLY2UcmEqMJuBfaZ1HdG9 Thank you! ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ Connect with us! Facebook: https://www.facebook.com/SocraticaStudios/ Instagram: https://www.instagram.com/SocraticaStudios/ Twitter: https://twitter.com/Socratica ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦ Teaching​ ​Assistant:​ ​​ ​Liliana​ ​de​ ​Castro Written​ ​&​ ​Directed​ ​by​ ​Michael​ ​Harrison Produced​ ​by​ ​Kimberly​ ​Hatch​ ​Harrison ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

https://www.youtube.com/watch?v=ozwodzD5bJM

3Blue1Brownyoutube

This is really the reason linear algebra is so powerful. Help fund future projects: https://www.patreon.com/3blue1brown An equally valuable form of support is to simply share some of the videos. Home page: https://www.3blue1brown.com/ Full series: http://3b1b.co/eola Future series like this are funded by the community, through Patreon, where supporters get early access as the series is being produced. http://3b1b.co/support ------------------ 3blue1brown is a channel about animating math, in all senses of the word animate. And you know the drill with YouTube, if you want to stay posted about new videos, subscribe, and click the bell to receive notifications (if you're into that). If you are new to this channel and want to see more, a good place to start is this playlist: https://goo.gl/WmnCQZ Various social media stuffs: Website: https://www.3blue1brown.com Twitter: https://twitter.com/3Blue1Brown Patreon: https://patreon.com/3blue1brown Facebook: https://www.facebook.com/3blue1brown Reddit: https://www.reddit.com/r/3Blue1Brown

https://www.youtube.com/watch?v=TgKwz5Ikpc8

Dr. Trefor Bazettyoutube

Vectors in R^n obey a list of rules, things like commutivity of vector addition that a+b = b+a as vectors. However, we can abstract this list of rules and introduce the general concept of a vector space. A vector space has elements that might be all kinds of weird things, but as long as they obey the same list of rules, they are a vector space. And the key here is that all the things we have done in linear algebra extend to this new situation too! Our first new example is polynomial of degree less than or equal 2, which have a natural "vector" addition and scalar multiplication. ************************************************** Now it's your turn: 1) Summarize the big idea of this video in your own words 2) Write down anything you are unsure about to think about later 3) What questions for the future do you have? Where are we going with this content? 4) Can you come up with your own sample test problem on this material? Solve it! Learning mathematics is best done by actually DOING mathematics. A video like this can only ever be a starting point. I might show you the basic ideas, definitions, formulas, and examples, but to truly master math means that you have to spend time - a lot of time! - sitting down and trying problems yourself, asking questions, and thinking about mathematics. So before you go on to the next video, pause and go THINK. *************************************************** Want more ideas for learning math effectively? ►How to Watch Math Videos: https://www.youtube.com/watch?v=Ljq5y3ksk8o ►5 Tips to Make Math Practice Problems Effective: https://www.youtube.com/watch?v=LPH2lqis3D0 **************************************************** ►Want some cool math? Check out my "Cool Math" Series: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxelE_9RzwJ-cqfUtaFBpiho **************************************************** Course Playlists: ►Calculus I: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxfT9RMcReZ4WcoVILP4k6-m ►Calculus II: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxdQCBjYswqbn7LxL1pW4cW4 ►Discrete Math: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxersk8fUxiUMSIx0DBqsKZS ►Linear Algebra: https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxfUl0tcqPNTJsb7R6BqSLo6 ***************************************************** ►Follow me on Twitter: http://twitter.com/treforbazett ***************************************************** This video was created by Dr. Trefor Bazett, an Assistant Professor, Educator at the University of Cincinnati. BECOME A MEMBER: ►Join: https://www.youtube.com/channel/UC9rTsvTxJnx1DNrDA3Rqa6A/join MATH BOOKS & MERCH I LOVE: ► My Amazon Affiliate Shop: https://www.amazon.com/shop/treforbazett

https://www.youtube.com/watch?v=72GtkP6nP_A

Ancak çarpma işlemi toplama işlemi üzerinden tanımlanmıyor. Sezgisel olarak çarpmanın tekrarlı toplanması fikrini veren şey "Distributive Law".

Matematiksel olarak sıralama bu ancak insani keşif sürecinde tabi ki çarpma başlangıçta tekrarlı toplama olarak zihinlerde yer ediniyor daha sonra formal kalıba en uygun* sokmanın yolu olarak sayı aksiyomları ortaya çıkarılıyor.

*Gün geçtikçe tanımlar çoğu zaman daha geneli kapsayacak şekilde değiştiriliyor.

Benim bildiğim durum bu :)

Rica ederim.

Yazılımla mı ilgileniyorum sorusunun cevabı şöyle:

Boğaziçi Bilgisayar Müh. öğrencisiyim (1. sınıfa yeni geçiyorum)

Ancak yazılımdan ziyade tasarım konusunda tecrübeliyim. (3 yıldan uzun süredir freelance olarak tasarım yapmaktayım. Şu an da Amerika'da bir şirkette front end web (webflow) developer olarak çalışıyorum.)

Lineer cebiri seviyor olmamın sebeplerinden birisi yıllardır bilgisayarda kullandığım tasarım araçlarının arka planda lineer cebir kullanıyor olması. Lineer dönüşümler, 2d 3d animasyonlar vs. ço keyifli şeyler benim açımdan. Lineer cebrin soyutlamaları da çok hoşuma gidiyor. Vector space, vector, linear transformation ...

3x3 determinant formülünü ezbere bilmiyorum. Onun üzerinde fazla kafa yormadım. Serbest bir şekilde çalıştığım için herhangi bir sıra takip etmiyorum. Ama sanırım sorduğunuz için üzerinde düşüneceğim :D

Ben henüz yazılımda hiç kullanmadım bu arada :D

Lineer Cebirde çok iyiyim diyemem ama dün bu konuyu görünce linearity yi birde koordinat uzerinde nasıl göreceğimiz uzerinden eşitliklerin sağlanılması adına initial conditions nasıl belirlenebilir üzerinden gittim. Bu arada tum denklemlerin babası initial conditions (baslangic kosullaridir, hatta sınır kosullarini belirlemek manyetizma ya da su alti akustigi gibi ciddi konularda dalga denklemlerin hesaplanmasinda can alici unsurdur), bu mevzu uzar gider ama bir esitsizlik cozulecekse oncelikle kosullari belirlemekte fayda var. Bu gercek dunya da bu sekildedir. Her neyse bu cozumde bu iki esitligi denklemek icin kosullarin saglanmasinda sizin belirttiginiz 2 condition kullanilinca ancak cozum gerceklesiyor. Dedigim gibi lineer cebirde cok usta değilim Umit hocanin cozumunu ayrica inceledim ayrica tesekkur ederim. Turkiye de bu tarz konularin daha cok konusulmasi umidiyle, sadece lineerliğe 2 boyutlu koordinat sisteminde biraz bakip kalem hareket ettirdim. Cevap dogru ya da yanlis, tatmin eder ya da etmez tartismaya acik :). Saygilarimla.

merhaba, siz burada 1. koşuldan yararlanıp 2. koşulu mu elde etmeye çalıştınız ?

Ayrıca eğimden elde ettiniğiniz denklem b.f(b)-a.f(a)=f(a+b)(b-a) ile 2. koşul olan f(ca)=f(a) denklem arasında bir bağlantı kurmamız lazım sanırım ama ben o bağlantıyı kuramadım, biraz açıklar mısınız ? Yoksa tamamen mi yanlış anladım ben :)

Bugün tekrar 3x3 determinantların nerelerden geldiğini araştırayım dedim, aklıma youtube'dan takip ettiğim Fuat Serkan Orhan hocamızın kanalı geldi. Orada bu videosunu buldum:

Fuat Serkan Orhanyoutube

Determinant Internet sitesi: http://fuatserkanorhan.com Email: fuatserkanorhan@gmail.com

https://www.youtube.com/watch?v=-WMqGxzmq1Y&list=PL4bZBI_tvM9DOZZY0kKeWZCu3RHsd1x38&index=52

Çok güzel anlatmış. Yani 3x3 determinatları bulurken neden 2x2'in determinatını kullandığımızı ispat etmiş. Bu videoda yaptığı, mantık olarak kafama oturdu.

Bir de bu ispatı 2x2 de deniyeyim dedim, onda da doğru sonuç verdi.

Bunu paylaşmamın nedeni, hem bu bilgiyi paylaşayım hem de aklıma gelen diğer soruyu sorayım, dedim.

Sorum:

Bu ispat bize neyi verdi ? (3x3) için bilindik derterminant bulma yönteminin sonucunu ile bu ispatın sonucunu karşılaştırarak doğruluğunu kanıtladık.

Yani bu 3x3'i bilindik yöntemin sonucu ile bu ispatın sonucunu karşılatırıp doğrulunu kanıtlayabiliyoruz peki 4x4 için ne yapacağız ? Bilindik yöntemin doğruluğunu kanıtlamak için illa bu ispatı uygulayıp o bilindik yöntemin sonucu ile karşılaştırmamız mı lazım ?

Biz bu ispatı kullanarak 2x2, 3x3 ve 4x4 'e ... uygulayıp sonuçlara bakarak aradaki örüntüyü (bağlantıyı) nasıl açıklarız ki nxn uyguladığımızda da bilindik yöntem ile karşılaştırınca doğru sonuç vereceğini anlıyabilelim ?

Yani bu ispatı nasıl genelliyeceğiz ?

Merhaba, çok yerinde bir soru. Lineer ya da doğrusal cebir, adı üstünde, doğrularla(daha doğrusu nokta, doğru, düzlem gibi doğrusal yapılarla) hesap yapmaya yarıyor. Bu alanda ele aldığımız nesneler vektör uzaylarıdır. Vektör uzayları iki temel işleme sahip: vektör toplaması(okları ucuca ekleme) ve skaler çarpma(okların doğrultusunu koruyarak uzunluğunu ve yönünü değiştirme). Yazdığınız 1. koşul, inceleyeceğimiz fonksiyonların(lineer dönüşümlerin) vektör toplamasına saygı duyması demek, 2. koşulsa skaler çarpmaya saygı duyması. Dolayısıyla belki sorunuzu "neden vektör uzayları bu iki işleme sahip olacak şekilde seçiliyor" sorusuna dönüştürmek gerek. Vektörlerle hangi işlemleri yapabilmek istiyoruz?

Yorumlarda belirtmişler, eğer cismimiz(skalerlerimiz) rasyonel sayılarsa, o zaman 2. koşul 1.'nin bir sonucu. Ancak mesela cismimiz reel ya da karmaşık sayılarsa bu koşullar birbirinden bağımsız.

Örnek 1: Karmaşık sayılar üzerine f(a+ib)=a-ib fonksiyonu toplamsal(1. koşulu sağlıyor), ancak 2. koşulu sağlamıyor.

Örnek 2: R^2'den kendisine bir fonksiyon tanımlayalım. x ve y eksenlerindeki vektörleri sabit bıraksın. Orijinden geçen diğer doğrular üzerindeki vektörleri de 2 ile çarpsın. Bu durumda her v vektörü için f(cv)=cv olur, ancak f(i+j)=(2,2) iken f(i)+f(j)=i+j=(1,1) olur. Kısacası 2. koşul teker teker orijinden geçen doğrularla ilgili bir şey söylüyor, bu doğruların aynı düzlemde yer almaları, birbirlerine göre konumları vs gibi şeylerle ilgilenmiyor.

@Can Ozan merhaba hocam, öncelikle ricamı geri çevirmediğiniz için teşekkür ederim.

Karmaşık sayılar hakkında pek bilgim yoktu, şu videolarınızdan dün biraz bakındım sizin :

Cevabınızdan sonra ve daha önce de pek karmaşık sayılarla ilgilenmediğim için bu konuya sizin videolarınızdan bir bakayım, fikir edineyim izleyip biraz fikir sahibi olayım dedim. Ayrıca videolarınız için de teşekkür ederim, bayağı yardımı dokundu bana.

Pisagor Okuluyoutube

Hangi adreste hangi karmaşık sayı var? Koordinatları verilen bir noktada hangi karmaşık sayı olmasını tercih ederiz? Peki karmaşık sayıları toplamak ve çarpmak istersek düzlemdeki yerleri nasıl değişir? Bu videoda bu sorular üzerine düşünüyoruz. https://www.n11.com/magaza/pisagorokulu https://www.instagram.com/pisagormath/ https://www.patreon.com/pisagormath https://www.facebook.com/pisagor/ https://twitter.com/PisagorMath

https://www.youtube.com/watch?v=xXxIZlLU0y4&list=PLgKrBtfZfSX00j2_1feSdVLILMGKMAoiS&index=3

Pisagor Okuluyoutube

Reel sayılar mesafeleri ölçmek için ortaya çıkmıştır. Peki ya karmaşık sayılar? Bu videoda karmaşık sayılara neden ihtiyaç duyduğumuza ve bu ihtiyacımızı giderecek sayı sisteminin geometrisine bir giriş yapıyoruz. Selamlar ve sevgiler, Can Ozan https://www.n11.com/magaza/pisagorokulu https://www.instagram.com/pisagormath/ https://www.patreon.com/pisagormath https://www.facebook.com/pisagor/ https://twitter.com/PisagorMath

https://www.youtube.com/watch?v=bqlQre1SeXQ&list=PLgKrBtfZfSX00j2_1feSdVLILMGKMAoiS&index=2

örnek 1'iniz için:

f(a+ib)= a-ib

1. koşul sağlaması için f(a+b) = f(a) + f(b) olmalı:

f(x+iy) = x - iy olsun.

f(p+ir) = p - ir olsun.

f[(x+p) + i(y+r)]= x + p - i(y + r) olur.

f(x+iy) + f(p+ir) = x - iy + p - ir = x + p - i(y+r) olur ve bu da f[(x+p) + i(y+r)]= f(x+iy) + f(p+ir) olur. Böylelikle 1. koşul sağlanmış olur.

2.koşulu sağlaması için f(cx) = c.f(x) olmalı :

Burada sormak isteğim; burdaki c değerini eğer rasyonel seçersek sıkıntı olmuyor dediğiniz gibi ama bu c değerini, karmaşık sayılardan seçersek;

c = x - iy olsun.

f(p + ir) = p- ir olsun.

c.f(p+ir) = (x - iy).(p - ir) = xp - irx - iyp + i²yr = xp - irx - iyp - yr = xp - yr -i(rx + yp) olur.

f[c(p+ir)] = f[(x - iy)(p+ir)] = f[xp - yr -i(rx + yp)] = f[(xp - yr) + i(-rx - yp)] ," f(p + ir) = p- ir "de yerine koyarsak;

f[(xp - yr) + i(-rx - yp)] = xp - yr - i(-rx - yp) olur.

ama xp - yr -i(rx + yp) ≠ xp - yr - i(-rx - yp) yani c.f(p+ir) ≠ f[c(p+ir)] bu eşitsizlik olduğundan 2. koşul sağlanamamış olur.

Burada sormak istediğim (2. koşul için); bu c sayısını karmaşık sayı seçme gibi bir seçeneğimiz var mıdır ? Varsa bu çarpmanın anlamı nedir ? Aslında biz burada iki karmaşık sayıyı çarmıyor muyuz ? Bu rasyonel sayılarda r²'de iki vektörün çarpımı gibi bir şey değil mi ? Yani iki vektörün çarpımının doğrusallığını sorgulamak gibi bir şey değil mi bu ? Bizim burdan çıkarımız nedir, bize ne gibi faydalar sağlıyor bu ? (ayrıca yukardaki işlemlerde gidişat yönünden veya işlemsel hatam varsa yazınız lütfen)

Örnek 2 için : Hocam bu örneği malesef anlıyamadım, biraz açıklar mısınız ? Anlıyamadım şey; mesala "x ve y eksenlerindeki vektörleri sabit bıraksın" nasıl oluyor ? denklem olarak yazabilir miyiz bunu ? "Orijinden geçen diğer doğrular üzerindeki vektörleri de 2 ile çarpsın." bunu da denklem olarak tanımlayabiliyoruz mu ? gibi sorular geldi aklıma.