İntegralde alan soru mantığı

İyi çalışmalar herkese.

Bu soruda s(x) fonksiyonu 0 dan a değerine kadar alan olarak tanımlanmış. 

İntegral sınırlarına 0 ve 2 yazılmış.

Ben de "0 ve 2 değerleri arasında s(x) fonksiyonu nasıl davranır?" diye çözüm yapıp alan değerini buldum. 

Sonra da buldugum alan değerinin integralini aldım.

Ama cevapta alan değerinin integrali alınmamış.

Nerde hatalı düşünüyorum?

Soru aslında başka bir şeyi soracak, çünkü bu haliyle müfredat dışı. Ama bu haliyle de geçerli bir soru, yanlış bir soru değil, ama senin bu haline verdiğin cevap hatalı oluyor, nedenini anlatacağım. Sorunun bu halinin çözümü şöyle olur:

Öncelikle sorudaki değişkenler iyi kullanılmamış, "s(x): x=a doğrusuna kadar olan taralı bölgenin alanı" denmiş mesela, "a" nedir, sabit sayı mı, değişken mi. Aslında demeye çalıştığı şekilde "s" fonksiyonunun bağımsız değişkeninin "a" olması lazım, çünkü "a" değiştikçe o alan değişiyor yani fonksiyonun değeri değişiyor, s fonksiyonu a'ya bağımlı bir fonksiyon.

s(a) = int 0'dan a'ya karekök(16-x²) dx.

Bu integrali hesaplamak müfredat dışı, çünkü bu integral x=4sinu değişimi yaparak hesaplanıyor, sonuç şu çıkıyor:

s(a) = 8(arcsin(a/4)+(1/2)sin(2arcsin(a/4))).

Sonra diyor ki bu fonksiyonun 0'dan 2'ye belirli integralini hesapla, yani istediği şey

int 0'dan 2'ye [8(arcsin(a/4)+(1/2)sin(2arcsin(a/4)))] da (değişken a olduğu için dx değil da oldu, istersek buradaki tüm harfleri x ile değiştirebiliriz, s(a) formülünde de a yerine x ile de yazabiliriz).

Tabii ki bu integrali hesaplamak da müfredat dışı.

Sen, s(a) fonksiyonunu bulup sonra onun 0'dan 2'ye integralini almadın, sen önce s(2) değerini buldun, bu da bir sabit sayı tabii ki (bulduğun alan değeri),

s(a) = s(2) sabit fonksiyonuymuş gibi düşünüp bulduğun sabit sayının integralini almaya çalıştın, bu yüzden hatalı oluyor.

-----------------

Tabii soru aslında bunu sormaya çalışmıyor, hatalı sorulmuş, soru aslında şu olmalı:

s(2)=?

Bunun cevabı senin bulduğun şey oluyor, yani o bölgenin alanı.

Soruyu bu tip bi soruya benzettim. O yüzden öyle çözdüm hocam

Evet, bu da benzer bir soru, ilk sorunun esas haline benziyor yani müfredat dışı haline, ama burada f(x) zaten üç parçalı sabit fonksiyon olarak geliyor, çünkü o yatay kesitlerin alanı değişken değil, sabit sayılar,

f(x)=

{16pi, 0≤x≤6;

4pi, 6≤x≤12;

pi, 12≤x≤18}.

f(x) 3 ayrı sabit fonksiyondan oluştuğu için integralinin hesaplanması da müfredat dahilinde ve kolay oluyor, ve sorunun sormaya çalıştığı şey de ikinci soruda doğru olarak aktarılmış (bu arada bu parçalı fonksiyon yazımında küçük eşit kısımlarında hata var, aşağıda bahsettim.) Ama ilk soruda dediğim gibi

s(x) fonksiyonu sabit fonksiyon değil, o alan değişken, önce s(x) fonksiyonunu bulup, sonra 0'dan 2'ye s(x)'in integralini hesaplamak gerekirken, sen s(x)'i değil s(2) değerini bulmuş oluyorsun, bu da

2kök3+4pi/3'e eşit, sonra sanki s(x) fonksiyonu x'e göre değişip farklı farklı değerler alan bir fonksiyon değil de; tüm x'ler için

s(x)=2kök3+4pi/3 sabit sayısına eşit bir sabit fonksiyon olarak düşünüp bu şekilde integralini almış oluyorsun, bu yüzden hatalı oluyor. Doğru şekilde yapmaya çalıştığımızda da müfredat dışı şeyler geliyor. Bu yüzden ikinci attığın soru o haliyle doğru bir soru, sormaya çalıştığı şey müfredat dahilinde, ama ilk attığın sorunun orijinal hali müfredat dışı, o yüzden aslında s(2)'nin sorulması gerekiyor.

Yalnız ikinci attığın soruda şöyle bir sıkıntı var,

parçalı fonksiyonda da görüldüğü gibi f'in "x birim yükseklikteki yatay kesitin alanı" olarak tanımlanmasında sıkıntı var, mesela x=6 olduğunda hangi yatay kesiti dikkate alacağız, 6 birim yükseklikte en alttaki silindirle ortanca silindir çakışık, yarıçapı 4 birim olan yatay kesiti mi alacağız, yoksa 2 birim olan yatay kesiti mi, burası sıkıntılı, soruda da belirtmediği için parçalı fonksiyonun yazımı sıkıntılı oldu, f(6) ve f(12) ikişer farklı değer alıyorlarmış gibi oldu, tabii ki böyle bir şey olamaz.

Bu arada küçük/büyük eşittir sembollerini kullanınca mesaj bozulabiliyor, mesajın resim hali:

Resim linki.